初中数学竞赛题：几何图形和代数两种方法解决动点线段长度

边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB，线段CF、DH的中点分别为M、N，则线段MN的长是否为定值，如果是，请求出MN长度；若不是，请说明理由；

这道题是一次竞赛题选择题中的最后一道，难度肯定是有的，但不同的解题方法，对应的难度也是不一样的。该题使用的几何方法确实不容易想到，但除了几何方法外，还可以使用代数方法，所以老师给同学们提供两种方法。

如果是直接写答案的，同学们可以利用特殊位置求解，但是那样就没意思了，所以咱们把它当做解答题来进行。

1、方法一：辅助线

既然有中点，很可能就要用到中位线，可是MN明显不是一个三角形或者梯形的中位线，因此辅助线是必须的，

我们观察CF、DH所在的图形，如图中橙色线段，

GH//CD，这个位置关系很明显是一个切入点，

如果连接CG，找到CG中点，就有梯形的中位线了，

同时连接M的话，也有三角形的中位线，

如图，连接CG，并设CG中点为P，连接MP和NP，则MP⊥NP，

这样一来，只要有MP和NP的长度，那么勾股定理就能解决MN了，

MP、NP都是中位线，而且都可以求出，所以后面就没有难度了。

但是这个方法是很不容易想到的，

试想哪有那么容易想到将两个中点分别置于梯形和三角形中并且运用勾股定理呢？

2、方法二：平面直角坐标系

既然图中都是正方形，而且长度已知，那么我们可以将其放入坐标系中。有些同学可能觉得这种方法比较陌生，但是到高中立体几何的时候，建立坐标系是常用手段，所以提前学习学习也是可以的。

如图，以AD和DC所在直线为x轴、y轴，且以点D为原点，

假设H的坐标为（-m，n），

那么可得F（-m-1，n+1），

同时D（0,0），C（0,3），

所以M、N的坐标可得，

然后利用MN²=（xm-xn）²+（ym-yn）²，（可能有些同学不知道这个式子，所以提供一下）

在计算过程中会发现，横坐标之差和纵坐标之差均不含未知数，

所以MN的长度是定值，坐标代入开平方解出来即可；