一次函数
1. 正比例函数和一次函数的概念.
2. 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象及性质.
3. 函数y＝kx与y＝kx＋b的关系.
4. 用待定系数法求一次函数的解析式.
二. 知识要点：
1. 一次函数与正比例函数的概念
（1）形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.
（2）形如y＝kx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的正比例函数.
注：一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当b＝0时，就成了正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数.
2. 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质
（1）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是过点（0，0）与（1，k）的一条直线. 在图1中画出y＝2x的图象.
（2）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质.
①如图2，k＞0时，y随x的增大而增大；
②如图3，k＜0时，y随x的增大而减小.
3. 一次函数的图象和性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象是一条直线，因此一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
说明：一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线，其中正比例函数的图象是过原点的直线. 一次函数的图象是一条直线，但直线不一定是一次函数的图象. 如x＝a，y＝b分别是与y轴、x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.
（2）一次函数的图象的画法：作图时通常取两点（0，b）、（1，k＋b）连直线；
（3）一次函数的图象和性质
①如图4，k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大；
②如图5，k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；
③如图6，k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小；
④如图7，k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小.
4. 一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx的图象的关系：y＝kx＋b的图象由y＝kx（k≠0）的图象平移得到. 当b＞0时，y＝kx（k≠0）的图象沿y轴向上平移b个单位便得到y＝kx＋b（k≠0，b＞0）的图象；当b＜0时，y＝kx（k≠0）的图象沿y轴向下平移︱b︱个单位便得到y＝kx＋b（k≠0，b<0）的图象. 它们的解析式仅在常数项上有区别，其他部分完全相同. 因此，对于自变量的任一值，这两个函数相应的值总差同一个常数. 这反映在图象上，就是不论横坐标为几，两个函数图象的纵坐标总差同一个值，即一个函数的图象总比另一个函数的图象高出同一高度.
5. 一次函数解析式的确定
待定系数法：要确定一次函数的解析式，先设出函数的一般形式y＝kx＋b，再找到k，b应满足的两个条件，列出关于k，b的二元一次方程组，解出k与b，从而确定一次函数的解析式，这种方法就是待定系数法.
说明：用待定系数法解函数解析式共分四步：①设，根据题意设出函数解析式；②代，即把适合的点的坐标代入，组成方程（组）；③解，解出所列方程（组）的解；④还原，把求得的字母的值代入解析式，从而确定函数解析式.
三. 重点难点：
1. 重点：一次函数的图象和性质.
2. 难点：由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
【考点分析】
一次函数的图象及性质是中考的一个重要考点，在填空题和选择题中出现，常常是考查一次函数图象所过象限、增减性、过不过某点等基础知识，在综合题中考查学生的观察能力，阅读图象获取信息的能力，分析比较能力，一般情况下，所占分值在8~10分左右.
【典型例题】
例1. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（2）（2008年湖南郴州）一次函数y＝－x－1不经过的象限是 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（3）已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是 （ ）
分析：（1）因为k＝2，k＞0，所以直线y＝2x－1呈上升趋势，又因为b＝－1，b＜0，所以直线与y轴交点在原点的下方，所以正确选项是B. （2）可以判断直线y＝－x－1经过哪几个象限，根据k＝－1＜0，b＝－1＜0，得此直线经过二、三、四象限，所以不经过第一象限. （3）在y＝kx＋b中，y随x的增大而减小，说明k＜0，从而图象呈下降趋势，而kb＜0，则b＞0，说明交于y轴的正半轴. 应选A.
解：（1）B（2）A（3）A
评析：直线y＝kx＋b的位置由k和b的符号确定，k决定直线的上升趋势和下降趋势，可形象地称为“撇”和“捺”，b是直线与y轴交点的纵坐标，当k＞0时，y随x的增大而增大，函数图象为“撇”；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数图象为“捺”，当b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交；当b＝0时，函数图象经过原点；当b＜0时，函数图象与y轴交于负半轴，我们可以综合k、b的符号来判断图象的位置.
例3. （2008年上海）如图，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为_______
___.
分析：设直线OP的解析式为y＝kx，因为其过点P（1，2），所以k＝2. 则其解析式为y＝2x. 向下平移3个单位后，k不变，直线与y轴的交点下移到（0，－3），即b＝－3，所以平移后直线的解析式为y＝2x－3.
解：y＝2x－3
评析：直线y＝kx向上、向下平移时比例系数k不变，只是增加了常数项. 若向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b，若向下平移b个单位，则得到y＝kx－b. 注意平移的方向是向上还是向下，从而决定是加还是减b个单位.
例4. 已知一次函数图象经过点（0，－2），且与两坐标轴围成的三角形面积为3，求一次函数的解析式.
分析：题中有两个条件，一个是“图象过点（0，－2）”，另一个是“与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为3”. 后一个条件的利用，需画出函数图象的草图，再根据面积公式列方程.
评析：在表达直线与两坐标轴围成的三角形面积时，关键是求出直线与两坐标轴的交点坐标. 利用交点坐标转化线段的长，注意加绝对值.
例5. 某汽车在加油后开始匀速行驶. 已知汽车行驶至20km时，油箱剩油58.4L；行驶至50km时，油箱剩油56L. 如果油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶的路程x（km）之间的关系是一次函数关系，请你求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x的取值范围.
分析：由题意得两组x、y的对应值，（20，58.4）和（50，56），且y是x的一次函数. 对于自变量的取值范围要考虑汽车的最小行程x≥0和最大行程x，要使油箱中的余油量不能为负数，故有y≥0，得到x的取值
解：设所求一次函数表达式为y＝kx＋b，
由题知函数过点（20，58.4），（50，56），
【方法总结】
1. 牢牢把握一次函数的性质，会用待定系数法求一次函数的解析式.
2. 在解决与一次函数的性质有关的题目时，注意数形结合思想的使用.
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 若正比例函数y＝（4m－3）x的图像上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
10. 如果一次函数y＝（m－1）x＋（n－2）的图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________，n的取值范围是__________.
11. 已知一次函数y＝3x－6，它的图象与坐标轴围成的三角形的面积为__________.
**12. （2006年安徽）一次函数的图象过点（－1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式：__________.
三. 解答题
13. （2008年北京）如图，已知直线y＝kx－3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标.
*14. 已知一次函数y＝（2k－1）x＋（3－2k），y随x的增大而减小. 求实数k的取值范围，并确定此时直线过哪几个象限.
四. 实际应用题
*15. 将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽度为3cm.
（1）求5张白纸粘合后的长度；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的函数关系式，并求当x＝20时y的值.
**16. 观察如图所示的图象，并根据你所获得的信息回答问题.
（1）折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；
（2）根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；
（3）求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围.
【试题答案】
一. 选择题
1. A 2. B 3. B 4. A 5. A 6. B
二. 填空题
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